（为了验证猜测，本人进行了一些实践，共计购买了1500注彩票，中奖金额1905元，返奖率为63.5%。数据截止至17年11月16日。若干年后会公布购买细节）
大乐透 中级篇
大乐透 初级篇
结论：本文根据大乐透的历史开奖记录证实该彩票的可靠性：针对开奖记录，解释了为何有四次前区开奖号码重复的事件。本文还研究了彩票的分布情况，并证实在期望值的角度，特定的彩票号码组合能够战胜彩票机构。最后对彩票中的各种问题进行说明（使用的开奖数据截止至2017/11/16，前1609期次）
一、引言
在15世纪就已经有人研究赌博中的概率问题，到了17世纪，费马、帕斯卡、伯努利等深入研究赌博游戏，且帕斯卡将概率论进行系统化【1，2】。近年MIT的学生也曾出版图书讲解如何通过赌博赢钱，封面上写着6个MIT学生从拉斯维加斯赌城赚得百万的故事【3】（封面好俗）。看来对赌博进行研究的也并不全是赌徒。
关于大乐透或者国内的其他彩票，诟病很多。部分原因是国内彩票返奖率只有~50%（即使彩票不作假，盈利也是很可观了），所以有人称买彩票是交智商税【4】。此外，有部分彩民对彩票极度痴迷，已经超过了理智。大众对彩票的热衷也导致了各种中奖预测和号码推荐。从数学直觉上看，这些预测不可信，因为概率论中假定了事件之间完全不相关，但事实上是否有联系并不容易证明。不过也有作者研究过，按照预测号码买彩票,，中奖概率不会提高。可见各种号码预测全凭猜测或胡乱建立联系，跟随机选号没什么差别。本文仅对彩票概率进行粗略的论证，说明部分号码组合确实能够提高中奖概率（不做预测）。
二、概率与随机
我们如何去认识概率和随机？我们可以轻易的获取大量数据，但如何看待这些数据？我取出一枚硬币，对它不断进行抛掷，去统计它的正反面。统计了100次，有38次的正面网上博彩，距离50%的可能性为正面的概率有些远；统计1000次，有600次正面，60%，稍微接近50%了。从直觉上认为，只要有毅力去不断抛硬币，正面的概率会无限接近于50%的。但当我们越深入这个问题，就越容易忽略一个表面的事实：我们假定了它是理想硬币，它的正面概率就应该是50%。事实偏离了假设，让我感到焦虑。但其实因为：1，硬币正反面的凹凸不一致，导致质心不在最中心；2，硬币制造过程不能保证硬币的各个位置的密度一样，导致质心不在最中心；3，我抛硬币喜欢从正面在上开始抛……这些问题都足够保证抛硬币过程不是理想的。每个硬币都有它的固有概率，而且这个概率也许只属于此刻的此枚硬币（在我不断抛掷的同时，因为磨损或沾染汗渍造成了硬币改变，固有概率会改变）。所以固有概率≠理想概率。硬币抛掷概率属于二项分布问题，对于理想硬币，1000次抛掷中有600次正面的概率密度只有5*10-9 %。不断尝试下去，它很可能（99.99999995%）不会收敛于理论概率50%（会大于50%）。
除了统计概率的异常，我们还需要考虑数据前后是不是异常（我是指造假）。比如有人声称，做了十万次抛硬币实验，如何去判断他有没有作假？我们假定硬币是随机的，那么随机序列应该表现出一些特征：1、如上所说的正面的概率在50%附近，并收敛于某个值；2、掷1000次硬币，出现连续5次（或以上）正面的次数【5】；3、佛曰不可说。。。第三种特征不好用数学去描述，但如果看到01011001010111010010010，就需要警觉了，因为它是我编的（看起来0,1分布的很均匀，没有连续出现3个1或0）。我随机生成了一个30位0-1数列11011 10011 10111 10100 00001 10101，它看着反而好像很不随机，但这个却是真的随机生成的结果。对于序列的随机性判断比较困难【6】，我们只能模糊看到它的影子。比如大乐透的某个数字连续出现了8期，某两个数字组合连续出现了5期。
三、碰撞问题【7】
如果要求房间中至少有2个人有相同生日的概率大于1/2，那么房间中所需的最少人数是多少？
想象一下，一年有366天（不考虑闰年）。从直觉上想，估计需要有百八十人吧。但是事实呢？23人。计算方法很简单，假定共n个人，每个人的生日都不相同：
至少有2个人有相同生日的概率大于1/2的概率就是1-p，要(1-p) > 1/2。n=22时，(1-p) = 0.475；n=23时，(1-p) = 0.506。
在散列函数中，假定有1 000 000个地址，使得碰撞概率大于1/2的n是1178。也就是使用一百万个位置中的1178个位置时，有超过50%的可能性有位置重复（hash函数的散列冲突）。生日问题和散列冲突问题可以扩展成碰撞问题。
四、前区号码重复问题
四次开奖前区号码重复的事件有四次开奖前区号码重复的事件（碰撞事件）也可用相似的方法计算一下，总的前区号码组合数为C(35, 5) =324 632。可以算出发生碰撞的概率大于1/2的期次是671。而到第1609期次开奖时，发生碰撞的概率已经达到了98.11 %。且可以算出理论上碰撞1次的概率7.52%，碰撞2次的概率14.95%。下图是程序模拟1609期次发生碰撞的次数的概率图，出现3-4次前区号码相同的概率超过35%。前1609期发生4次前区号码碰撞也不必大惊小怪。如果一定要怀疑，可以质疑为什么号码碰撞的期号距离都很近（这个概率应该也不会太小）。
模拟次数：10000；对每次模拟发生的碰撞次数做直方图
五、重复出现的号码
有些号码或者组合连续出现四、五期，让彩民内心惊慌焦虑，到底是出了什么状况，它还会又出现吗？我们不妨计算机模拟一下，经过1000次的模拟1609期次的开奖结果，连续出现n次的某个号码的次数平均值统计如下。其中连续出现5次的概率不小（1609期次有6次某个号码连续出现5期，13次某个号码连续出现4期），但没有发生某号码连续出现6、7期的事件。（计算方法：1、生成随机抽奖数据[5*1609]的二维数组；2根据该数据生成[35*1609]的0-1二维数组（比如某期抽中23号，则该期对应的行的第23列元素为1）；3、抽取第一行、第二行进行比较，如果对应位置均不为0，则第二行的该位置数据修改为两者的和，第一行该位置数据置0；4、迭代上述数据，比较二三行，三四行。。。；5、Counter函数统计该数组的各数字的出现次数；6、重复进行1000次取平均。）
六、相似
在数学分析【8】中，数列收敛理论指出，数列收敛则其任何子数列都收敛（随着抽奖次数的增加，概率会逐渐接近该值）。这不禁让我想到，我们认为彩票是真随机事件（彩票没有被人为控制），它肯定会拥有这种性质。按照期数除以3的余数为0,1,2将历史抽奖数据分为3组。这些数据没有太大问题：在第1组抽中次数多的号码在2,3组也容易抽中。当然，其实这个问题很难去判断。
前区
后区七、号码概率
按照第二章的推理，如果进行的次数足够多，掷硬币的正面概率要收敛于50%，如果没收敛就说明了固有概率与理论不符合。对于彩票，则相当于抛一个有35个面的筛子。历史抽奖1609期，数据量太少，没法研究单个号码的出现概率。但产生的数据不论如何分布，都存在一个离散程度的特征（标准差sigma），也就是某些球抽中的次数多，有些少，但多与少的程度是有范围的。但到底离散程度是多少才符合理论呢？程序随机生成1609期的抽奖数据，就能计算它的离散程度。把这个过程不断重复20万次，就产生了离散程度的分布图。实验得到的离散程度的均值为13.9，范围大概在10.60~17.26（95%置信度）。实际情况的离散程度为34.95，差的很离谱。如果我们假设标准差的分布是正态分布，那么离散程度达到34.95的可能性只有1.36*10-34。银河系的尺寸1021，原子的尺寸10-10。如果我们把理论前区标准差的分布图的x轴画成银河系直径那么长，那么实际值的高度仅有原子尺寸的千分之一；或者说，你买了4次单注彩票，全中了一等奖。
号码会表现出离散性归结于两个原因：随机性造成的离散和抽奖造成的固有离散。随机性离散即上述程序模拟的离散程度分布。只需用实际离散程度减去随机性离散就可以得到固有离散程度（此处将问题简化处理，便于计算）。我们假设实际情况不会脱离理论太多，可以选取95%置信区间，也就是随机性离散程度[10.60, 17.26]。假定数字的出现概率=固有概率+随机性概率，且出现次数越多的数字的随机性概率越大。那么可以得到修正的固有概率，如下表。
根据各个号码的抽中概率，可以按照非等概率不放回抽样计算概率。并由14052期（自此期开始实行了新的奖金规则）之后的各等级奖金金额计算期望值：
即使按照最大修正，在期望值上仍能够取得胜利。需注意：此处的所有修正都是在把出现次数多的球往小的方向修正（在理论上来讲，是应该两个方向都修正，也就是说，虽然某些号码抽中概率很高，但其实它的固有概率更高。只是被离散性概率拉低了，所以表现出来的概率没那么高）。实际期望值或许在2.6附近，大于购买彩票的筹码。
八、为何如此？
如大乐透中级篇所述，猜测是抽奖设备造成的29-35号抽中的概率较大。首先，这些号码的固有概率偏大是事实，造成这个结果的原因：1、球本身的问题；2、设备设计问题。如何设计实验证明是否是球本身的问题？不妨想象，如果我们改变球的放置顺序：29-35号球从左侧移到右侧，1-7号球移到左侧，如果抽奖实验结果是1-7号的抽中概率大，那就可以排除球本身的问题了。这个实验不好操作，但我们注意到，大乐透是有3套抽奖球的。如果这3套球的29-35号的固有概率都偏高，也可以证明是抽奖设备的问题。关于采用的哪套球的自11年开始的历史记录（至17134期共1056期次），在http://www.lottery.gov.cn/中可以找到。因为每一套球的使用次数只有不到400，所以随机性离散较大。29-35号的个别球的抽中概率反差较大，也许说明这几个球的差异较大。
九、号码相关性
之前提到过，是否某些号码之间有相关性，比如1号被抽中那么2号被抽中的可能性就会很大？对此进行统计：
横纵轴的数字代表两个号码，中间的数值代表横纵坐标对应的两个号码均被抽中的次数我们知道，29-35被抽中的次数本来就多，所以这个位置的数值较大。我们可以考察： P(AB)/(P(A)*P(B))。通过程序模拟该过程，真实分布在理论范围内，可以认为号码之间无相关性。不再对此问题做过多说明。
总结：本文根据大乐透的历史开奖记录证实该彩票的可靠性；在期望值的角度，特定的彩票号码组合能够战胜彩票机构。但是需要考虑到，如果机构自身购买这些号码，那么派给外部的奖金就会减少，从而彩民购买的期望值会降低。也许这能解释为什么第11110期（中奖号码： 30 31 33 34 35 + 4 7）会中65注一等奖，且每一注都是单独中奖，单注奖金69万。（当然，16150期106注一等奖也很玄幻）。购买需谨慎，请勿要沉迷。
最后的问答环节
1、双色球2004009期补摇奖录像【9】，此问题在《彩民质疑双色球摇奖过程》【10】中有答案。文中解释，每次开奖现场都有两部摄像机，一部负责宏观场面的拍摄，另一部则负责画中画的特写镜头。但第2004009期双色球开奖时，负责拍摄画中画的特写镜头的摄像机出了问题，直到开奖后才发现没有画中画的特写镜头。因此进行了补录，而所谓的补录不是重新摇奖（估计是打开设备，直接把球塞到中奖的管子里的方式，毕竟只需要补拍那个位置）。但确实应该在公示时说明情况，而不是事后解释。自行判断是否可信。
2、频频出现高倍中一等奖，请问为什么没有高倍中二等奖的。这个只能说作者没仔细调查。大家都关注一等奖，更关注高倍一等奖，进而忽视了高倍二等奖的。可以搜一下，比如有20倍二等奖530万的啊，怎么能选择性忽略呢【11】。知乎上也有文章分析为什么会出现高倍一等奖。
3、关于大乐透造假，曾有视频指出，某号码在出奖的瞬间从xx变成了xx（记不清了）。
此问题有慢镜头视频证明，是光的折射导致画面偏差。
引文
1 http://www.udpwork.com/item/8697.html（在这里可以了解一点点概率论）
2 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24647096
3 图书：《Bring Down The House》 ，作者Ben Mezrich
4 https://www.zhihu.com/question/38672879
5 https://www.zhihu.com/question/46388875
6 https://www.guokr.com/question/525135/
7 图书：《离散数学及其应用（中文版）》p390-391
8 《数学分析 （中文版）》p81 卓里奇
9 https://www.zhihu.com/question/19728488
10 http://news.sina.com.cn/c/2004-02-13/11261791180s.shtml
11 http://baijiahao.baidu.com/s?id=1578339460482166313&wfr=spider&for=pc